突变理论

[拼音]:tubian lilun

[英文]:catastrophe theory

20世纪70年代发展起来的一个新的数学学科。一种自然现象或一个技术过程,在发展变化过程中常常会从一个状态跳跃式地变到另一个状态,或者说经过一段时间缓慢的连续的变化之后,在一定的外界条件下,会产生一种不连续的变化,这就是所谓的突变现象。这类突变现象在大自然里以及在技术过程中都是普遍存在的。例如,一定质量的气体在一定的温度和压力之下会变成液体,天气的突然变化会产生暴风雨,地壳的剧烈运动会引起地震,桥樑的扭曲会导致断裂,容器里的几种物质在一定的外界条件下会发生化学反应,胚胎的发育,等等,这些现象都是突变现象。以前科学家们在研究这类突变现象时遇到了各式各样的困难,其中主要困难之一就是缺乏恰当的数学工具来提供描述它们的数学模型。1969年法国数学家R.讬姆在他的题为《生物学中的拓扑模型》一文中,首次在奇点分类的基础上提出了一个描述突变现象的数学模型。稍后,他在著名的《结构稳定与形态发生》一书中又系统地阐述了他的思想,这就是现在人们所称的突变理论。

代入V,可以看出V是θ、x、y的函式。由极小势能原理可知,当点C的座标为(x0,y0)时,圆盘状态θ0应使V(θ0,x0,y0)为势函式V(θ,x,y)的极小值。也就是说,这个力学系统的状态(θ,x,y)应满足方程式

。在三维空间(θ,x,y)∈R3中, 方程式

确定一曲面,记作MV并称它为状态曲面或突变流形。它上面的点代表这个力学系统的一个状态。从奇点理论研究的结果知道,可以选取适当的座标 (φ,u,υ)使得函式V在新座标系中有很简单的分析表示式:

而状态曲面MV由方程

所决定。这个曲面图形如图2

所示。几何上曲面MV是这样描述力学系统运动的:为了使图看起来清晰,把u,υ平面沿φ轴向下平移一个距离,ⅹV表示MV到(u,υ)平面的垂直投影,曲面MV的两条折叠线在ⅹV下的像是一条尖点曲线α,给定一点p0(u0,υ0),圆盘的状态φ0应该使

即 (φ0,u0,υ0)是曲面MV上的一点 Q0,亦即通过点(u0,υ0)平行于φ轴的直线与MV的交点就是

。当控制引数p=(u,υ)在平面上沿一条曲线从p0连续地变到p1,p2时,相应的代表系统状态的点Q就从Q0连续地沿著曲面上一条曲线变到Q1,Q2。但当点p通过曲线上的点p3时,相应的代表系统状态的点Q就从曲面的折叠处(悬崖上)掉到曲面的下面一叶上的点Q3,这就是代表系统状态的点Q产生了不连续的跳跃,即描述了系统的突变运动。曲线α具有重要性质:当控制引数(u,υ)穿过它时,系统状态产生突变。曲线α看作点集并称为突变集,而ⅹV称为突变对映。研究一下曲面MV和对映ⅹV:MV→R2就可以看到曲线α就是对映ⅹV的奇点集在ⅹV下的像。因此,若要找突变集,首先是要求出ⅹV的奇点集。

由这个力学的例项可以概括出研究突变现象的数学方法:

(1)确定刻画系统状态的引数 (x1,x2,…,xn)及系统的控制引数(u1,u2,…,ur)。在上例中就是确定出刻画圆盘的状态的引数θ以及控制引数(x,y)。

(2)确定支配系统的势函式p(x1,x2,…,xn;u1,u2,…,ur)在控制引数为(u1,u2,…,ur)时系统的平衡态(x1,x2,…,xn)使得势函式p取极小值,在上例中就是找出系统的弹性势能V(θ,x,y)。

(3)确定系统所有可能出现的平衡态构成的空间Mp,Mp是Rn+r中由方程式

所确定的子流形。

(4)研究Mp到Rr(u1,u2,…,ur)上的投影

,以Σp记 ⅹp的奇点集,Rr(u1,u2,…,ur)中的ⅹp(Σp)称为分歧集。它确定了突变可能发生的范围。

一般说来,势函式可以是非常复杂的。但是讬姆关于基本突变分类定理告诉人们,尽管势函式 p千千万万,但是只要势函式的控制引数u1,u2,…,ur的个数不超过4,用奇点的语言就是:p(x1,x2,…,xn)的馀维r≤4,结构稳定的势函式的拓扑型(即在座标的微分同胚变换之一)只有七种型别(见表

)。

参考书目

R.Thom,Structural Stability and Morphogenesis, W.A.Benjamin, Reading, Mass.,1975.

R.Thom, Topological Models in Biology,Topology 8,pp.313~355, 1969.

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